Tutorial Maple

Mencari Fungsi Invers dan Grafik Fungsi dengan Menggunakan Maple 9.5

Misalkan f(x) adalah fungsi satu-satu.

h(x) adalah fungsi invers (kebalikan) dari f(x), maka akan berlaku (f o h)(x) = x.

Dalam Maple tidak ada perintah khusus untuk mencari invers fungsi. Oleh karena itu untuk mencari fungsi invers, kita bisa menggunakan konsep teori tersebut yaitu dengan mencari h(x) sebagai penyelesaian dari persamaan (f o h)(x) = x.

salah satu contoh untuk mencari fungsi Invers h(x) dari suatu persamaan f(x) dengan menggunakan maple, yaitu :

cari invers dari f(x)= 3x+4,

Berdasarkan teori, untuk mencari fungsi invers f(x)  harus menyelesaikan persamaan (f o h)(x)=x dengan h(x) sebagai fungsi invers.

sedangkan dengan maple, kita menggunakan perintah solve()..

dimana perintah solve((f 0 g)(x) = x, g(x)) ini  digunakan untuk mencari h(x) hingga memenuhi persamaan (f o h)(x) = x.  Penyelesaian dari persamaan ini didefinisikan sebagai fungsi finv(x) atau fungsi invers f(x)

Langkah 1

Tulis fungsi f(x) ke lembar kerja maple.


masukkan fungsi f(x)= 3x+4 dengan cara :

Sehingga tampilan menjadi :

kemudian masukkan nilai fungsi f(x)= 3x+4 dan tekan *enter* agar tampak seperti berikut:

Lanakah 2

Lakukan Perintah solve((f @ g)(x) = x, g(x)) kemudian *enter*

Langkah 3

Ketik finv () untuk mengetahui hasil invers dari persamaan f(x) kemudian klik *enter*

fungsi invers dari f(x)=3x+4 adalah h(x)= (x-4)/3.

untuk menampilkan grafik fungsi,dilakukan perintah plot () seperti berikut :

Demikian cara menentukan invers dan grafik dari suatu fungsi dengan menggunakan maple 9.5

*sumber : http://sashafa.wordpress.com/2010/05/12/tutorial%C2%A0maple/

 

Penerapan Teori Graf pada Algoritma Routing

Penerapan Teori Graf Pada Algoritma Routing

Indra Siregar 13508605

Program Studi Teknik Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika

Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132

email:

if18605@students.if.itb.ac.id

ABSTRAK

Jaringan komputer adalah suatu kumpulan komputer yang saling berkomunikasi satu sama lain dengan

menggunakan caracara (protokol) tertentu. Komputer pada jaringan komputer dapat berupa

router, workstation, modem, printer, dan perangkatperangkat lainnya. Jaringan komputer dapat dimodelkan dengan menggunakan graf. Makalah ini khusus membahas pemodelan keterhubungan antar

router dan algoritma routing yang digunakan, pada suatu jaringan komputer, dengan memanfaatkan teori

graf. Pada bagian awal dijabarkan secara ringkas beberapa definisi terkait dengan teori graf. Bagian

selanjutnya adalah pembahasan beberapa algoritma routing pada suatu jaringan komputer. Algoritma

routing yang dibahas adalah algoritma BreadthFirst, algoritma Dijkstra dan algoritma BellmanFord.

Untuk mendapatkan kelebihan dan kekurangan dari setiap algoritma routing dilakukan dengan cara

menganalisis kompleksitas pada setiap algoritma tersebut.

Kata kunci: graf, jaringan komputer, router, algoritma routing, BreadFirst, Dijkstra, BellmanFord.

1. PENDAHULUAN

Graf digunakan untuk merepresentasikan objekobjek diskrit dan hubungan antara objekobjek tersebut. Graf sering digunakan untuk memodelkan jalur transportasi, penjadwalan, jaringan komputer, dan lain sebagainya. Graph G = (V, E) adalah suatu graf dengan V adalah himpunan tidak kosong dari simpulsimpul (vertices), yaitu terdiri dari n buah simpul {v1, v1, v3, …, vn} dan E = {e1, e2, …, en} adalah himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul. Jika pasangan simpul (i, j) saling terhubung, maka kedua simpul tersebut dikatakan bertetangga. Atau dengan kata lain jika e merupakan sisi yang menghubungkan simpul i dan j, e = (i, j), maka sisi e disebut bersisian dengan simpul i dan j.

Kardinalitas dari himpunan simpul dilambangkan dengan |V|.

Graf G = (V, E) dapat direpresentasikan dengan |V| x |V| matriks ketetanggaan. Gambar di bawah ini

merupakan contoh representasi matriks ketetanggaan pada suatu graf tidak berarah.

gambar 1 Matriks Ketetanggaan Pada Suatu Graf

Beberapa definisi yang sering dijumpai dalam teori graf adalah sebagai berikut:

1. Jalur (path) antara simpul i dan j adalah sebuah urutan simpul dan sisi yang dimulai dari simpul i

dan berakhir di simpul j, dengan setiap sisi bersisian dengan simpul sebelum dan sesudahnya.

Sebuah jalur disebut sederhana jika setiap sisi yang dilalui pada jalur tersebut hanya sekali saja.

2. Jarak antara simpul i dan j adalah jumlah sisi minimum yang berada pada jalur dari simpul i ke simpul j.

3. Sebuah jalur sederhana disebut sebagai kalang (cycle atau loop) jika simpul awal juga merupakan

simpul akhir.

4. Sebuah graf disebut terhubung jika terdapat jalur pada setiap pasang simpul i dan j.

5. Sebuah graf disebut berarah jika sisi pada graf tersebut memiliki arah. Dengan demikian simpul (i, j) pada sisi e tidak secara langsung mengakibatkan bahwa simpul (j, i) juga ada pada e. Pada kondisi ini, sisi pada graf sering disebut dengan busur.

6. Graf disebut memiliki bobot (weight) jika pada setiap sisi (atau busur) diberi label dengan suatu

bilangan. Berbeda dengan graf tidak berarah pada gambar 1, representasi matriks untuk graf berarah ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Pada gambar dapat dilihat bahwa elemen pada setiap matriks menggambarkan bobot(weight) pada setiap pasang simpul.

Gambar 2 Representasi Matriks Untuk Graf Berarah

1.1  Pohon (Tree)

Graf T merupakan sebuah pohon jika dan hanya jika ada satu jalur sederhana pada setiap pasang simpul (i, j). Jika N = |V|, maka ada N 1 sisi (busur) dan semuanya terhubung, tanpa ada kalang (loop). Setiap

simpul dapat menjadi akar pada pohon tersebut. Sebuah pohon dapat direpresentasikan dengan menyusun simpulsimpul dalam suatu urutan tertentu yang dimulai dari akar. Beberapa definisi pada pohon adalah sebagai berikut:

1. Setiap simpul (kecuali akar) hanya memiliki satu simpul orang tua.

2. Setiap simpul memiliki 0 atau lebih anak.

3. Sebuah sisi dengan 0 anak adalah merupakan daun.

1.2  Pohon Merentang (Spanning Tree)

Subgraf (subgraph) dari sebuah graf G = (V, E) didapatkan dengan cara:

1. G’ = (V’, E’), dimana V’ dan E’ adalah himpunan bagian dari V dan E.

2. Untuk setiap sisi (busur) e pada E’, simpul i dan j ada pada V’. Sebuah subgraf T = (V’, E’) dari G = (V, E) adalah pohon merentang dari G jika:

1. T adalah sebuah pohon.

2. V’ = V.

Gambar di bawah ini adalah dua buah pohon merentang yang didapatkan dari Graf G.

Gambar 3 Pohon Merentang Dari Graf G

1.3 Teori Graf dan Algoritma Routing

Pada jaringan komputer, aliran setiap paket dapat dimodelkan dengan menggunakan graf yang memiliki

bobot. Simpul pada graf merepresentasikan router, sedangkan busur pada graf merepresentasikan subnet. Routing adalah proses untuk meneruskan paket dari suatu simpul ke simpul yang lainnya dengan berdasarkan asas jalur terpendek. Tujuannya adalah agar pengiriman paket tersebut dapat dilakukan secara efektif dan efisien. Algoritma routing untuk mendapatkan jalur terpendek diantaranya adalah algoritma BreadFirst, Dijkstra, dan BellmanFord.

2. ALGORITMA ROUTING

2.1 BreadFirst

Algoritma ini mencari solusi dari pohon merentang yang berasal dari suatu graf. Ide dasar dari algoritma

BreadFirst adalah dengan melakukan eksplorasi terhadap simpulsimpul yang dimulai dari akar. Setiap simpul yang dijumpai akan diperiksa apakah merupakan solusi atau tidak.Secara umum algoritma BreadFirst akan melakukan langkahlangkah sebagai berikut:

1. Menentukan simpul yang berperan sebagai akar (misalnya simpul x).

2. Melakukan penjelajahan terhadap simpul yang bertetangga dengan simpul x (level 1).

3. Untuk setiap simpul yang berada pada level 1, dilakukan penjelajahan terhadap semua simpul yang bertetangga dengan semua simpul pada level 1 yang belum dijelajahi pada langkah sebelumnya (level 2).

4. Untuk setiap simpul yang dijelajahi, diperiksa apakah merupakan simpul tujuan atau tidak. Jika merupakan simpul tujuan maka penjelajahan akan berhenti dengan solusi merupakan simpulsimpul yang dijelajahi dari awal sampai kepada simpul akhir tujuan.

5. Jika bukan merupakan simpul tujuan makan perulangan akan berlaku selama belum semua simpul dijelajahi.

Gambar di bawah ini adalah contoh penerapan algoritma BreadFirst pada sebuah pohon merentang yang

berasal dari suatu graf.

Gambar 4 Algoritma BreadFirst

Kompleksitas algoritma BreadFirst adalah O(|V|3).

2.2 Dijkstra

Ide dasar dari algoritma Dijkstra adalah memeriksa simpul dengan bobot terkecil dan memasukkannya ke

dalam himpunan solusi. Pada setiap iterasi himpunan solusi ini akan berubah jika terdapat sisi dengan bobot lebih kecil dari sisi pada himpunan solusi. Secara umum langkahlangkah pada algoritma Dijkstra adalah sebagai berikut:

1. Pada langkah k: cari sisi k yang dapat dijangkau dari s dengan bobot minimum, dilambangkan

dengan Tk.

2. Pada langkah k + 1: cari simpul v dengan jarak minimum dari s dan dapat dijangkau dengan

Simpulsimpul yang ada pada Tk (kecuali v sendiri).

3. Tk+1 = Tk U {v}

4. Algoritma berhenti ketika semua simpul sudah dikunjungi.

Gambar 5 Algoritma Dijkstra

Untuk lebih jelasnya, gambar di bawah ini merupakan langkahlangkah yang dilakukan dengan menggunakan algoritma Dijkstra.

Gambar 6 Langkahlangkah

Pada Algoritma Dijkstra Kompleksitas algoritma Dijkstra adalah O(|V|2). Dengan implementasi yang efisien dapat diperoleh

kompleksitas O(|V|∙log|V|).

2.3 BellmanFord

Misalnya simpul sumber adalah s, dan akan dicari jalur terpendek dari s ke semua simpul yang lain pada graf G. Langkahlangkah pada algoritma BellmanFord adalah sebagai berikut:

1. Temukan jalur terpendek antara s dan simpul lainnya, sehingga jalur ini adalah paling banyak memiliki 1 lompatan (hop).

2. Cari jalur terpendek antara s dan simpul lainnya dengan memiliki paling banyak 2 lompatan.

3. Lakukan iterasi sampai jalur terpendek memiliki jumlah lompatan paling banyak berjumlah diameter

dari graf. Diameter graf adalah jarak maksimum antara pasangan simpul pada graf, diukur dengan

lompatan (hop).

Gambar di bawah ini merupakan langkahlangkah yang dilakukan dengan menggunakan algoritma BellmanFord.

Gambar 7 Langkahlangkah

Pada Algoritma BellmanFord Kompleksitas yang diperoleh adalah O(|V|.|E|), jadi untuk kasus terburuk adalah ketika |E|=|V|2, adalah O(|V|3). Algoritma BellmanFord juga dapat dilakukan secara rekursif, yaitu:

Dimana jalur terpendek antara s dan n diberikan dengan melakukan konkatenasi terhadap jalur terpendek antara s dengan satu predecessor simpul j pada n dan link antara j dan n.

Juga berlaku:

Dimana jalur terpendek antara s dan n diberikan dari harga minimum dari konkatenasi jalur terpendek antara sebuah simpul j yang bertetangga dengan s dan n dan link antara s dan j. Sifat rekursif pada algoritma BellmanFord dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 8 Algoritma BellmanFord

3. ALGORITMA DIJKSTRA VERSUS BELLMANFORD

Walaupun kedua algoritma (Dijkstra dan BellmanFord) samasama berusaha menemukan jalur terpendek, namun kedua algoritma tersebut memiliki beberapa perbedaan. Salah satu perbedaan adalah dalam hal kompleksitas. Algoritma BellmanFord memiliki kompleksitas yang lebih besar dibandingkan dengan Dijkstra. Perbedaan lainnya adalah pada algoritma Dijkstra simpul asal membutuhkan pengetahuan tentang topologi graf, yaitu informasi semua busur dan bobotnya. Oleh karena itu dibutuhkan pertukaran informasi dengan semua simpul. Sedangkan algoritma BellmanFord membutuhkan

pengetahuan mengenai bobot dari sisi yang bertetangga dengan suatu simpul dan nilai dari jalur terpendek yang dimulai dari simpul tetangganya tersebut. Dalam hal ini hanya diperlukan komunikasi antara simpul yang bertetangga saja (implementasi terdistribusi). Walaupun algoritma BellmanFord

hanya membutuhkan distribusi informasi antara simpul yang bertetangga saja, namun implementasi terdistribusi pada algoritma BellmanFord dapat menyebabkan masalah yang disebut dengan bad news phenomenon, dimana iterasi yang diperlukan bisa sedemikian tinggi sehingga memperlambat distribusi informasi dari satu simpul ke simpul yang lainnya.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan pemabahasan di atas, kesimpulan yang didapatkan dari makalah Penerapan Teori Graf Pada Algoritma Routing adalah sebagai berikut:

1. Keterhubungan antar router pada suatu jaringan komputer dapat dimodelkan dengan menggunakan

graf.

2. Graf yang dihasilkan dari pemodelan tersebut dapat diproses lebih lanjut dengan menggunakan

Kaidahkaidah yang berlaku pada graf.

3. Beberapa algoritma routing adalah algoritma BreadFirst, Dijkstra, dan BellmanFord.

4. Setiap algoritma routing tersebut memiliki kompleksitas yang berbedabeda BreadFirst

memiliki kompleksitas O(|V|3), Dijkstra memiliki kompleksitas O(|V|2) dan BellmanFord adalah O(|V|.|E|).

 

REFERENSI

[1] Becchetti, Lucas, Computer Networks II: Graph theory and routing algorithms, Universita degli Studi di Roma, 2008.

[2] Tanenbaum, Andrew S, Computer Networks, Prentice Hall PTR, 2002.

[3] Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi Ketiga, Penerbit Informatika: Bandung, 2005.

sumber : http://webmail_informatika.org/~rinaldi/Matdis/2009-2010/Makalah0910/MakalahStrukdis0910-021.pdf/

Makanan yang Wajib Dikonsumsi untuk Rambut Indah

Makanan yang Wajib Dikonsumsi untuk Rambut Indah

By Ayu Kinanti  Thursday March 3, 2011 05:18 pm WIT

Tak ada gunanya memakai aneka produk perawatan rambut, jika sel-sel rambut terlanjur rusak. Yang bisa dilakukan adalah merangsang sel-sel baru untuk tumbuh. Salah satunya dengan mengkonsumsi makanan-makanan yang memiliki nutrisi tepat untuk rambut. Apa saja?

Lain masalah, lain pula nutrisi yang harus dikonsumsi. Berikut daftar nutrisi yang diperlukan rambut, sesuai dengan kebutuhannya, seperti yang dikutip dari Lifescript.

1. Rambut rapuh

Rambut hampir seluruhnya dibangun oleh keratin. Saat jumlah keratin berkurang, otomatis rambut menjadi rapuh. Protein adalah sumber keratin yang paling utama. Konsumsi protein yang cukup akan mengembalikan kekuatan rambut Anda. Sumber protein hewani seperti telur dan ikan adalah pilihan yang baik. Mereka seringkali dikenal sebagai ‘sumber protein utuh’ karena kandungan asam aminonya.Namun menyantap sumber protein nabati seperti kacang-kacangan juga bisa menjadi pilihan.

2. Ketombe

ketombe adalah masalah rambut yang paling sering ditemui. Munculnya ketombe akan membuat rasa gatal juga kerapuhan pada rambut. Untuk mengatasinya, menkonsumsi omega 3 bisa menjadi solusi. Omega 3 dapat membuat tubuh memproduksi pelembab alami untuk kulit, termasuk kulit kepala. Sehingga kekeringan pada kulit kepala tidak muncul, dan ketombe pun tak akan menjadi masalah.

Omega 3 dapat dikonsumsi lewat telur ayam, atau berbagai jenis ikan seperti mackarel, salmon dan tuna.

3. Rambut rontok

Rambut rontok kadang membuat panik. Jumlah rambut rontok yang terus bertambah akan membuat rambut terlihat makin tipis. Kerontokan rambut bisa diakibatkan karena nutrisi yang ada di tubuh tak bisa sampai secara merata hingga rambut. Hal itu bisa disebabkan oleh kurangnya sel darah merah dalam tubuh. Kekurangan sel darah merah akan membuat oksigen yang bertugas mengantarkan nutrisi ke seluruh tubuh berkurang.

Untuk menambah produksi sel darah merah, konsumsilah makanan yang kaya zat besi. Zat besi alami bisa didapatkan dari aneka sayuran hijau seperti bayam, brokoli, sawi dan masih banyak lagi.

4. Rambut tipis

Diameter rambut yang tipis akan mengakibatkan rambut cepat patah dan rapuh. Untuk mengatasinya, sel-sel rambut harus diperkuat. Vitamin C yang terdapat pada sayuran dan buah dapat membuat rambut lebih tebal dan kuat. Vitamin C dapat membuat rambut menyerap zat besi lebih maksimal. Dengan jumlah zat besi yang cukup, maka rambut juga akan mendapatkan nutrisinya yang maksimal. Sehingga sel-selnya menjadi lebih kuat dan tebal.

5. Pertumbuhan rambut lambat

Anda susah memanjangkan rambut karena pertumbuhannya yang sangat lambat? Itu bisa berarti asupan vitamin B kompleks di tubuh Anda kurang. Vitamin B kompleks terdiri dari folate, biotin vitamin B6 dan B12. Nutrisi-nutrisi itulah yang akan merangsang sel pertumbuhan rambut menjadi aktif. Asparagus, alpukat, kentang hati sapi dan gandum adalah beberapa bahan makanan yang mengandung vitamin B kompleks.

6. Rambut rusak

Rambut rusak karena pemakaian bahan kimia berlebihan (obat keriting, cat rambut, dan lain-lain) serta penggunaan pengering rambut yang berlebihan sering dialami. Untuk mengembalikan keindahannya, kita perlu menyantap bahan makanan yang mengandung mineral-mineral seperti zinc dan copper. Zinc dapat mengembalikan jaringan rambut yang rusak, sedangnkan copper dapat mencegah timbulnya uban.

7. Rambut kering dan kusam

Rambut kering akan membuat penampilannya tampak kusam. Mengembalikan kelembaban alami rambut bisa dilakukan dengan mudah. Cukup konsumsi air putih yang cukup setiap hari. tak hanya rambut yang akan terlihat lebih indah, kulit Anda pun akan terjaga kelembabannya.

sumber : http://id.promotion.yahoo.com/stylefactor/artikel/post/stylefeatures/45/makanan-yang-wajib-dikonsumsi-untuk-rambut-indah.html

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!